Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $3$ è la matrice quadrata $3 \times 3$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - λ I_{3})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{3}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.5

Somma $- 3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.6

Somma $4$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 3 & 5 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (3 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} | + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3

Calcola $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 4 & 5 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) ((3 - λ) (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Espandi $(3 - λ) (5 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (3 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ (5 - λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 3 λ - 5 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Sottrai $5 λ$ da $- 3 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 8 λ + λ^{2} - 4 \cdot 1) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (15 - 8 λ + λ^{2} - 4) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.2

Sottrai $4$ da $15$ .

$p (λ) = (3 - λ) (- 8 λ + λ^{2} + 11) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.3.2.3

Riordina $- 8 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 | \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$

Passaggio 1.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & 3 - λ \\ - 3 & 4 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (2 \cdot 4 - (- 3 (3 - λ)))$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 3 (3 - λ)))$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 3 \cdot 3 - 3 (- λ)))$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 9 - 3 (- λ)))$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - (- 9 + 3 λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 - - 9 - (3 λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 + 9 - (3 λ))$

Passaggio 1.5.4.2.1.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (8 + 9 - 3 λ)$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $8$ e $9$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (17 - 3 λ)$

Passaggio 1.5.4.2.3

Riordina $17$ e $- 3 λ$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) + 0 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Somma $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11)$ e $0$ .

$p (λ) = (3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11) - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.1

Espandi $(3 - λ) (λ^{2} - 8 λ + 11)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 3 λ^{2} + 3 (- 8 λ) + 3 \cdot 11 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.2.1

Moltiplica $- 8$ per $3$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 3 \cdot 11 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2.2

Moltiplica $3$ per $11$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.2.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - (λ^{2} λ) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.2.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{2 + 1} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - λ (- 8 λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.2.2.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ) - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2} - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2.6

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} + 8 λ^{2} - λ \cdot 11 - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.2.7

Moltiplica $11$ per $- 1$ .

$p (λ) = 3 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} + 8 λ^{2} - 11 λ - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.3

Somma $3 λ^{2}$ e $8 λ^{2}$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 24 λ + 33 - λ^{3} - 11 λ - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.4

Sottrai $11 λ$ da $- 24 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} - 1 (- 3 λ + 17)$

Passaggio 1.5.5.2.5

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} - 1 (- 3 λ) - 1 \cdot 17$

Passaggio 1.5.5.2.6

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} + 3 λ - 1 \cdot 17$

Passaggio 1.5.5.2.7

Moltiplica $- 1$ per $17$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 35 λ + 33 - λ^{3} + 3 λ - 17$

Passaggio 1.5.5.3

Somma $- 35 λ$ e $3 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 32 λ + 33 - λ^{3} - 17$

Passaggio 1.5.5.4

Sottrai $17$ da $33$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - 32 λ - λ^{3} + 16$

Passaggio 1.5.5.5

Sposta $- 32 λ$ .

$p (λ) = 11 λ^{2} - λ^{3} - 32 λ + 16$

Passaggio 1.5.5.6

Riordina $11 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Scomponi $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.7.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 1.7.1.3

Sostituisci $4$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $4$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.3.1

Sostituisci $4$ nel polinomio.

$- 4^{3} + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

Passaggio 1.7.1.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 64 + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

Passaggio 1.7.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$- 64 + 11 \cdot 4^{2} - 32 \cdot 4 + 16$

Passaggio 1.7.1.3.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- 64 + 11 \cdot 16 - 32 \cdot 4 + 16$

Passaggio 1.7.1.3.5

Moltiplica $11$ per $16$ .

$- 64 + 176 - 32 \cdot 4 + 16$

Passaggio 1.7.1.3.6

Somma $- 64$ e $176$ .

$112 - 32 \cdot 4 + 16$

Passaggio 1.7.1.3.7

Moltiplica $- 32$ per $4$ .

$112 - 128 + 16$

Passaggio 1.7.1.3.8

Sottrai $128$ da $112$ .

$- 16 + 16$

Passaggio 1.7.1.3.9

Somma $- 16$ e $16$ .

$0$

Passaggio 1.7.1.4

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $λ - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16}{λ - 4}$

Passaggio 1.7.1.5

Dividi $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ per $λ - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$λ$

$4$

$λ^{3}$

$11 λ^{2}$

$32 λ$

$16$

Passaggio 1.7.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- λ^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$

Passaggio 1.7.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	+	$4 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- λ^{3} + 4 λ^{2}$

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$

Passaggio 1.7.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$

Passaggio 1.7.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 λ^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$

Passaggio 1.7.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					+	$7 λ^{2}$	-	$28 λ$

Passaggio 1.7.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 λ^{2} - 28 λ$

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$

Passaggio 1.7.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$

Passaggio 1.7.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$

Passaggio 1.7.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 λ$ per il termine di ordine più alto nel divisore $λ$ .

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$

Passaggio 1.7.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							-	$4 λ$	+	$16$

Passaggio 1.7.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 λ + 16$

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							+	$4 λ$	-	$16$

Passaggio 1.7.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$λ^{2}$	+	$7 λ$	-	$4$
$λ$	-	$4$	-	$λ^{3}$	+	$11 λ^{2}$	-	$32 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$4 λ^{2}$
					+	$7 λ^{2}$	-	$32 λ$
					-	$7 λ^{2}$	+	$28 λ$
							-	$4 λ$	+	$16$
							+	$4 λ$	-	$16$
										$0$

Passaggio 1.7.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- λ^{2} + 7 λ - 4$

Passaggio 1.7.1.6

Scrivi $- λ^{3} + 11 λ^{2} - 32 λ + 16$ come insieme di fattori.

$(λ - 4) (- λ^{2} + 7 λ - 4) = 0$

Passaggio 1.7.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$λ - 4 = 0$

$- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$

Passaggio 1.7.3

Imposta $λ - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Imposta $λ - 4$ uguale a $0$ .

$λ - 4 = 0$

Passaggio 1.7.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 4$

Passaggio 1.7.4

Imposta $- λ^{2} + 7 λ - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Imposta $- λ^{2} + 7 λ - 4$ uguale a $0$ .

$- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$

Passaggio 1.7.4.2

Risolvi $- λ^{2} + 7 λ - 4 = 0$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.7.4.2.2

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = 7$ e $c = - 4$ nella formula quadratica e risolvi per $λ$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 4)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.3.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot - 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot - 4}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 16}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.1.3

Sottrai $16$ da $49$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.7.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$λ = \frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{- 2}$

Passaggio 1.7.4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 7 \pm \sqrt{33}}{- 2}$ .

$λ = \frac{7 \pm \sqrt{33}}{2}$

Passaggio 1.7.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$

Passaggio 1.7.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(λ - 4) (- λ^{2} + 7 λ - 4) = 0$ vera.

$λ = 4, \frac{7 + \sqrt{33}}{2}, \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - 4 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 4$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.4

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 1 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & - 4 \cdot 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.6

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.7

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & - 4 \cdot 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.8

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.1.2.9

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 3 - 4 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $4$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.4

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - 4 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.5

Sottrai $4$ da $3$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.7

Somma $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.8

Somma $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - 4 \end{array}]$

Passaggio 3.2.3.9

Sottrai $4$ da $5$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 \\ 2 & - 1 & 1 \\ - 3 & 4 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - - 1 & - 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- 1$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 0 & - - 1 & - - 1 & - 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + z = 0$

$y + z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - z \\ - z \\ z \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3

Moltiplica $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4

Moltiplica $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.6

Moltiplica $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.7

Moltiplica $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.8

Moltiplica $- \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

Passaggio 4.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.2

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.4.4

Sottrai $7$ da $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - (\sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 + \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.9

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.10

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.11

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.12

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.13

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.15.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - (7 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.15.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.15.4

Sottrai $7$ da $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.16

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.17

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - (\sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.18

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1 + \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.20

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.21

Somma $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.22

Somma $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.23

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.24

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2 - (7 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.26

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.26.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - (7 + \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.26.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 1 \cdot 7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.26.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.2.3.26.4

Sottrai $7$ da $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = \frac{7 + \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} (- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot - 1 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} - 2 \cdot 0 & 1 - 2 (- \frac{1 - \sqrt{33}}{16}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & \frac{3 - \sqrt{33}}{2} + 3 (- \frac{1 - \sqrt{33}}{16}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{2} & \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} (- \frac{1 + \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot \frac{9 - \sqrt{33}}{8} & - \frac{2}{1 + \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{16} - 4 \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{33}}{16} z = 0$

$y + \frac{21 - 5 \sqrt{33}}{64} z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{16} - \frac{z \sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21 z}{64} + \frac{5 \sqrt{33} z}{64} \\ z \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ per ogni elemento della matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.2

Moltiplica $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.3

Moltiplica $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.4

Moltiplica $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.6

Moltiplica $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.6.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.7

Moltiplica $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.8

Moltiplica $- \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $\frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 0 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Passaggio 5.2.1.2.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

Passaggio 5.2.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.2

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 - - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4.4

Moltiplica $- - \sqrt{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4.4.2

Moltiplica $\sqrt{33}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6 - 7 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.4.5

Sottrai $7$ da $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) + \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 - \sqrt{33})}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 + 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.9

Somma $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 + 0 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.10

Somma $- 1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 + 0 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.11

Somma $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.12

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.13

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.14

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{3 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.15.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - (7 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.15.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 - - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.15.4

Moltiplica $- - \sqrt{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.15.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.15.4.2

Moltiplica $\sqrt{33}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{6 - 7 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.15.5

Sottrai $7$ da $6$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.16

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) + \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.17

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{33}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.18

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & \frac{- 1 (1 - \sqrt{33})}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 + 0 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.20

Somma $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 + 0 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.21

Somma $- 3$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 + 0 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.22

Somma $4$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.23

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & 5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.24

$5$ e $\frac{2}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{7 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{5 \cdot 2 - (7 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.26

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.26.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - (7 - \sqrt{33})}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.26.2

Applica la proprietà distributiva.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 1 \cdot 7 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.26.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 - - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.26.4

Moltiplica $- - \sqrt{33}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.26.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 + 1 \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.26.4.2

Moltiplica $\sqrt{33}$ per $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{10 - 7 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.2.3.26.5

Sottrai $7$ da $10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Passaggio 5.3

Find the null space when $λ = \frac{7 - \sqrt{33}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 0 & - 1 & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} (- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot - 1 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & 1 & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} - 2 \cdot 0 & 1 - 2 (- \frac{1 + \sqrt{33}}{16}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 & 4 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & 4 + 3 \cdot 0 & \frac{3 + \sqrt{33}}{2} + 3 (- \frac{1 + \sqrt{33}}{16}) & 0 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & - \frac{1 - \sqrt{33}}{2} & \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{33}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} (- \frac{1 - \sqrt{33}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot \frac{9 + \sqrt{33}}{8} & - \frac{2}{1 - \sqrt{33}} \cdot 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.4.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 4 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{16} - 4 \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{33}}{16} z = 0$

$y + \frac{21 + 5 \sqrt{33}}{64} z = 0$

$0 = 0$

Passaggio 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{16} + \frac{z \sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21 z}{64} - \frac{5 \sqrt{33} z}{64} \\ z \end{array}]$

Passaggio 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Passaggio 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{16} - \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} + \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{16} + \frac{\sqrt{33}}{16} \\ - \frac{21}{64} - \frac{5 \sqrt{33}}{64} \\ 1 \end{array}]}$